日本「阿基米德」冈洁：以艺术洞悉数学 | 展卷

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编者按

提到冈洁，国内的朋友可能还不太熟悉。他被誉为“日本的阿基米德”，曾攻克多复变函数论中的“三大难题”，为现代数学的发展做出了杰出贡献。1960年，冈洁因其在数学领域的贡献被日本天皇授予文化勋章。另外，冈洁还担任过汤川秀树（1949年诺贝尔物理学奖得主）和朝永振一郎（1965年诺贝尔物理学家得主）的数学老师。

朝永振一郎曾在其回忆录中写道：冈洁老师和秋月康夫老师的数学研讨课，如同一阵阵清爽的凉风，总是能为沉闷的教室带来新鲜空气。

冈洁在数学领域虽然功绩卓越，但让他在日本家喻户晓的却是他的文集《春夜十话》。书中浓缩了冈洁对于数学、教育、文学艺术的思考，从“情绪与心智”的角度，探讨了认知发展义务教育中的深层问题，提出的“情操教育”与“情绪认知”的观点，对日本几代人影响至深，并为理解数学、日本民族性乃至“人”本身提供了一种纯粹而直观的新思考。原日本文部大臣、东京大学前校长有马朗人曾称：“冈洁先生对数学的思考、对教育方法的考察以及对日本世态的批判仍具有警醒现世之力。”

人民邮电出版社，2019

冈洁作为学者，度过了极富特色的的一生。留学法国，当过几所大学的老师后，在35岁之后辞去了职务，开始了农业。但是，一面从事农活一面继续思索，接二连三地完成了数学上的重大发现。据说冈洁建立的多复变函数论是在情绪的作用下诞生的，而非逻辑。冈洁说“与数学最相似的就是农民”，两者的工作都是洒下种子并培育，其创造力都在于从“无”到“有”的过程。也就是说，如果数学家选好了种子，那么之后的事情就是看着它长大，而长大的力量在于种子。此外，冈洁还强调，不论是学术还是艺术，都应将直观力作为基础，在研究数学时通过艺术和文学来培养情绪非常重要。他说，“数学的目标是真实中的和谐，艺术的目标是审美中的和谐，在其中起作用的都是情绪。两者因为同样都是和谐而有着相通的一面，且审美中的和谐比较容易感觉到，因此，为了感知真实中的和谐是什么，接触优秀的艺术就是最好的方法。”

希望《春夜十话》对您有所启发，也许您并不完全赞同冈洁的观点，欢迎在留言区提出您的看法。留言被点赞最多（截至6月1日24点）的8位读者可获赠《春夜十话》一本；在所有留言者中，随机抽取3位赠送一本新出版的另一日本数学科普长销作品《数学女孩4：随机算法》。

撰文 | 冈洁

为什么绘画教育非常重要

我主要从事数学研究工作，但也稍涉足教育。日本教育中的某些现象令我十分担忧。今天我想提醒大家，儿童绘画教育十分重要，请认真对待，莫敷衍了事。

一般情况下，周五我都会去京都大学的研究生院指导年轻的数学家做研究。前几天去的时候，我发现街道上人声鼎沸。问了旁边的人，说是苏联宇航员加加林要来了，或者可能已经来了。总之，整条街上沸反盈天。我不喜嘈杂，幸好那日天气不错，于是改变主意去了位于七条的博物馆。恰逢博物馆的新藏品展览，本只打算走马观花地随便看看，没曾想碰到了一幅色相俱佳的花鸟画。那是一幅中国宋朝时期的画作，画上只有白色的山茶花和一只鸟，但却处处透露出灵动，让我甚是喜爱。寺田先生在高中时曾问夏目漱石俳句究竟是什么，漱石答：“俳句即如‘林间何人家，星火共幽闲’（しぐるるや黒木つむ屋の窓明り）。”漱石的回答实在精辟。

欣赏画作令人赏心悦目。时代的光景都清晰地留在了这些美术作品上。欣赏画作就像是回溯漫长的时代，去看当年的景象。

我在电视上听加加林说：“地球人口的快速增长导致地球变得越来越拥挤，好在不久的将来人类就能移居外星球了。”其实人们坚信空间存在，只是因为空间是可见的。过去人们坚信存在物理学性的空间，但第一次世界大战结束前夕，爱因斯坦否定了这一点。当今的科学认为不存在物理学意义上的空间，只存在维度空间。至于是否存在数学性的空间，这个问题暂未有定论，仍在研究之中。1937 年，德国的一位数学家发表论文，论证了数学空间的存在。可惜当时正值战乱，鲜有学者关注，直到战争结束才重新受到重视。日本有一位数学家十分关注这一领域，他常常跪在铺满了演算纸的地板上研究上面密密麻麻的符号。数学家秋月康夫十分欣赏他，曾对我说：“冈君，那才是数学，和逻辑无关。”既然他能得到秋月康夫这样的评价，想必他的研究必然有一定意义。据说他已证得数学上存在空间，我个人也是倾向于相信存在数学空间的。

这样看来，空间似乎并不是多么可靠的东西。空间中呈现出的由恒星、行星构成的宇宙结构，与其说它是科学，不如说它更像一幅画。究竟宇宙中除地球外是否还有存在生命的星球呢？有苏联研究者称，除地球外应该有一两个存在生命的星球，但其他国家的研究者尚未发表相关言论。空间本就是未知的奇怪东西，在尚未弄清是否可以在地球以外的星球居住之前，科学家不应该说出当地球变得拥挤就移居去其他星球的话。当时在苏联，加加林的拥护者非常多，从他嘴里说出的话自然会受到关注。宇宙时代说的就是那个时期的事情。

自古以来，人都在追问物质究竟是什么。以前的人将物质视为一种不可知、也不会消失的东西——“以太”。后来，以太的说法从研究领域消失了，但维度空间的构想又取而代之。这种构想不仅超越了当前物理学的范畴，甚至也超越了数学。研究总能在不同阶段发现一些似乎可以信赖的东西，但永恒可以信赖的东西，似乎并不存在。

说到不可信赖，美也是如此。如果以最美的东西举例，男子会认为最美的是女子的容颜，而对女子而言，却可能认为是男子的面容。女子怎样的容貌才能被称为美？奈良时代以女子圆脸为美，平安时代却喜鹅蛋脸，到了镰仓时代又重回圆脸至上的审美，后面的德川时代又变回以鹅蛋脸为美。美没有统一的标准，就像日本的提灯，时而以长为美，时而以短为美。

明治时期，人人都向往维纳斯的美。但大正时期，备受推崇的却是好莱坞女星的面容。可见，战后美的标准仍在不断变化。究竟何为美，着实不易理解。美并不是实际存在的东西。当我们感受美时，是我们的情绪在发挥作用。有一日，我在奈良公园沿着“私语小径”散步后，走到马路上竟丝毫不再介意卡车和巴士发出的噪声。汽车发出噪声是客观事实，但是否嫌它嘈杂全在于我们个人。

言及情绪，自然会联想起绘画。绘画教育当大胆去实施，但也要知道，绘画教育中的责任也非常沉重。一般来说，感情失衡多因情操教育出了问题。

感情就像大海，上面波涛汹涌的是情绪，下面波澜不惊的是情操。虽然我们习惯统称为情绪、情操，但实际上并不能一概而论。日本大和民族有大和民族式的情绪流动，每个人也都有自己的情绪流动。情绪就是指这种流动的曲线。就像每只麻雀都有自己的起飞方式，任何一只的起飞曲线都是独一无二的。所以说，顺其自然就好，我们可以将其称为心情上的美。有些商品不讨喜，是因为它无法与人的情绪曲线相匹配。能够匹配人的情绪曲线的东西，就能让人心情好，也就可以视为心情上的美。

最后，我想来谈一谈数学，只怕大多数人根本不知道数学究竟是什么。庞加莱认为数学本质在于和谐精神。庞加莱去世后不久，第一次世界大战就爆发了，和谐的精神荡然无存。第二次世界大战后，情况更加严峻。虽然高校数量不断增多，数学论文的数量也不断攀升，但那些论文就是废纸，言之无物。庞加莱之后，渴望探知数学本质的人越来越少，但我们必须努力更深一步地感悟和谐，这可以通过艺术欣赏来实现。虽然艺术和数学表面上看是八竿子也打不着的学科，但它们的目的其实殊途同归。比如说文艺复兴时期的画作表现出大量探索和写实的精神，这不正是伽利略推翻亚里士多德学派的关键吗？不清楚艺术和学问之间的关系，则难在数学上有所发现。近来常说振兴科学，但丧失情操谈何振兴。

现在的状况虽令人沮丧，但我只要忆起童年，内心便充满愉悦之情。不管是站在画板前还是单手扶着画板画画，都是我年少时美好的回忆。若老师本身热爱绘画，那体验更是痛快。升入高中后，我仍留有自由绘画的时间。扔掉制图工具，用木炭画一幅希腊石膏像素描的感觉也非常不错。只叹不久后战争爆发，我再也没能享受此般美好的时间。

近来我十分怀念画画的美好。去年夏天，我想去药师寺写生，于是买了画架等，但夏天一过，光线变弱，便提不起画画的兴致。今年也是忙着汇总某研究成果，完全抽不开身。真希望明年夏天能去痛痛快快地写生一场。

如何建立数学意识

数学是一门用知性文字表达人类内在的学问与艺术，所以数学教育的任务应是启发学生内心的数学意识。可眼下日本的教育情况却令我不禁怀疑数学老师是否真的明白什么是数学。只有真正弄清数的概念，才能理解和掌握数学。幼儿在成长过程中，也是先知晓数，再意识到时空和自然的。尽管我也不能解释清楚什么是数学，但我心中毫无疑问地种下了数的种子，并确定这颗种子并非是自然与天赋的馈赠。

希望通过人的自然成长去理解数学的方法是行不通的。大部分人并不清楚黑板上的图表和算式并非自我，而是与自我对立的自然物。老师在授课中也应尽量减少使用彩色粉笔和图片等有颜色的教具，因为颜色会刺激儿童的感知，引起他们情绪上的大幅波动。真正的教育不是让儿童坐在书桌前看书或反复练习，而是让儿童在散步的过程中萌发探索的意识与热情，进而再去学习。从古至今，大数学家无一例外采用的都是这样的学习方式。

当依赖黑板、铅笔和草纸变成习惯，人只能通过计算去验证正确性。放弃计算正如黑夜里被夺去了手中的灯笼，不光找不到走出黑夜的路，眼前的世界也变得更加漆黑。他们不知道白昼的存在，自然辨别不出自己身处黑夜之境。

真正的数学不是眼中看到的黑板上的文字，而是用自己的认知去描述心中的物象。这可以称为“君子的数学”。用这种方式去学习数学，才能栖居于白昼的光明之中。当自己能够真正理解自己的想法时，即便不去计算，也能凭借直观去理解。

计算的优势在于事后可以去验证，在这一点上，笔算又强过珠算。不过，用自己的认知去描述心中的物象，会容易粗心而导致错误，即careless miss。因此，计算在杜绝错误方面可以说具有绝对的优势。我的论文中常有这种粗心之错，以致我常常不得不专程再去送修正稿。其实，如果论文思路本质上没有错误，即便有一些粗心错误，也不会有大问题。粗心之错通过计算验证即可找出。可若具备计算能力的人没有思考能力，那他也只能验证已知，无法推演未知。

数学教育的目的绝不是训练学生的计算能力，而是要推开学生紧闭的心门，让外界清爽的风滋润他们的心田。数学教育的好坏，与儿童情绪中心能否接触到自然的纯粹直观密切相关。所以计算速度快慢并不是什么问题，因为我们要培养的不是计算机器。

学习数学应秉承“想清看明再动手，仔细调查相信结果”的方法。遇到问题时做到提笔前深思熟虑，提笔后一气呵成。只要开了头就务必速战速决，切忌拖泥带水。没思考就着急提笔作答，最后也占不了任何优势。“想清看明再动手”正是数学中倡导的思维模式，“相信结果”是呼吁不要拘泥形式。数学没有固定模式，不可能按部就班地得出结论。只要心怀事必有果的信念，并为之努力钻研，又何须拘泥于形式而导致裹足不前呢？倘若换个方法就令人心生退意止步不前，那么这个人只是依附在某种固定形式上的存在而已。这正是学习者身处的茫茫黑夜。

《数学女孩》系列以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的数学科普书”。目前共出四本，每本书一气呵成，非常适合对数学和算法感兴趣的初高中生以及成人阅读。

第一本内容涉及数列和数学模型、斐波那契数列、卷积、调和数、泰勒展开、巴塞尔问题、分拆数等。《数学女孩2：费马大定理》每一章针对不同议题进行解说，再于最后一章切入正题——费马大定理。作者巧妙地以每一章的概念作为拼图，拼出被称为“世纪谜题”的费马大定理的大概证明。《数学女孩3：哥德尔不完备定理》采用同样的巧思，将每一章的概念作为拼图，拼出与塔斯基的形式语言的真理论、图灵机和判定问题一道被誉为“现代逻辑科学在哲学方面的三大成果”的哥德尔不完备定理的大概证明。

最新出版的《数学女孩4：随机算法》以“随机算法”为主题，从纯粹的数学和计算机程序设计两个角度对随机算法进行了细致的讲解。内容涉及排列组合、概率、期望、线性法则、矩阵、顺序查找算法、二分查找算法、冒泡排序算法和快速排序算法等。

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